Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx x ，x＞6 e-x(x3+3x2+ax+b)，x≤6

，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=b=-3，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x≤6時，若函數(shù)h（x）=f（x）-e^-x（x³+b-1）存在兩個相距大于2的極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)g（x）在（-6，m），（2，n）上單調(diào)遞減，在（m，2），（n，+∞）單調(diào)遞增，試證明：f（n-m）＜

5 6

36

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=b=-3時，先求出f（x），然后對函數(shù)進行求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出當(dāng)x＜6時h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有兩個相距大于2的根，列出所滿足的不等式組，求出a的取值范圍；
（3）寫出g（x）的表達式，則x=2，x=n，x=m分別是g′（x）=0的三個根，得出m，n，a的關(guān)系，從而證明不等式成立．

解答： （1）解：當(dāng)x＞6時，f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

＜0，即f（x）在（6，+∞）單調(diào)遞減；
當(dāng)x≤6時，由已知，有f（x）=（x³+3x²-3x-3）e^-x，f'（x）=-x（x-3）（x+3）e^-x，知f（x）在（-∞，-3），（0，3）上單調(diào)遞增，在（-3，0），（3，6）上單調(diào)遞減．
綜上，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3）和（0，3）．
（2）解：當(dāng)x≤6時，h（x）=e^-x（3x²+ax+1），h'（x）=e^-x[-3x²-（a-6）x+a-1]，
令φ（x）=3x²+（a-6）x+1-a，設(shè)其零點分別為x₁，x₂．
由

(a-6)2-4×3(1-a)＞0 φ(6)≥0 - a-6 6 ＜6 |x1-x2|＞2

解得-

73

5

≤a＜-2

3

或a＞2

3

．
（3）證明：g(x)=

ln(-x) -x ，x＜-6 ex(-x3+3x2-ax+b)，x≥-6

當(dāng)x≥-6時，g'（x）=e^x[-x³+（6-a）x+（b-a）]，由g'（2）=0，得b=3a-4，
從而g'（x）=-e^x[x³+（a-6）x+（4-2a）]，因為g'（m）=g'（n）=0，
所以x³+（a-6）x+（4-2a）=（x-2）（x-m）（x-n），將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得m+n=-2，mn=a-2，因為n＞2，所以m＜-4，n-m＞6，又f（x）在[6，+∞）單調(diào)遞減，則f(n-m)＜f(6)=

ln6

6

，因為ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）²＜144＜150=(5

6

)2，即有6ln6＜5

6

，

ln6

6

＜

5 6

36

，從而f(n-m)＜

5 6

36

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由零點求參數(shù)的取值范圍，利用單調(diào)性證明不等式成立，試題有一定的難度．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．