Question

4．已知過原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，α是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值，則$\frac{\frac{1}{2αco{s}^{2}α}}{α+\frac{1}{α}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象，從而可得π＜x＜2π時(shí)，y=-sinx，y′=-cosx，從而可得α=tanα；從而解得．

解答 解：作直線與函數(shù)y=|sinx|（x≥0）的圖象如下，
當(dāng)且僅當(dāng)相切時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，
π＜x＜2π時(shí)，y=-sinx，y′=-cosx，
-cosα=$\frac{-sinα}{α}$，故α=tanα；
故$\frac{1}{2αco{s}^{2}α}$=$\frac{1}{2α}$•$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α}$
=$\frac{1}{2α}$•（α²+1）
故$\frac{\frac{1}{2αco{s}^{2}α}}{α+\frac{1}{α}}$=$\frac{\frac{1}{2α}（{α}^{2}+1）}{α+\frac{1}{α}}$=$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．