Question

5．已知函數(shù)f（x）=2x²-（a+2）x+a．
（Ⅰ）當a＞0時，求關于x的不等式f（x）＞0解集；
（Ⅱ）當x＞1時，若f（x）≥-1恒成立，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （1）先因式分解，再分類討論即可求出不等式的解集，
（2）轉化為有$a≤2x+\frac{1}{x-1}$恒成立，根據(jù)基本不等式即可求出最值．

解答 解：（Ⅰ）∵2x²-（a+2）x+a=2（x-$\frac{a}{2}$）（x-1）
∴（x-$\frac{a}{2}$）（x-1）＞0
①當0＜a＜2時，$\frac{a}{2}$＜1，不等式的解集為$\left\{{x|x＜\frac{a}{2}，或x＞1}\right\}$
②當a=2時，不等式的解集為{x|x∈R，且x≠1}
③當a＞2時，不等式的解集為$\left\{{x|x＜1，或x＞\frac{a}{2}}\right\}$…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）≥-1，∴2x²-（a+2）x+a≥-1
又∵x＞1∴有$a≤2x+\frac{1}{x-1}$恒成立           …（8分）
∵$2x+\frac{1}{x-1}=2（x-1）+\frac{1}{x-1}+2≥2\sqrt{2}+2$…（10分）
當且僅當$x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時等號成立
∴$a≤2\sqrt{2}+2$，a的最大值是$2\sqrt{2}+2$…（12分）

點評 本題考查了不等式的解集問題，利用基本不等式求最值問題，對于恒成立問題常轉化為最值問題或分離參數(shù)后再求最值，關鍵是分類討論．