Question

7．已知橢圓C：x²+4y²=16，點M（2，1）．
（1）求橢圓C的焦點坐標(biāo)和離心率；
（2）求通過M點且被這點平分的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）將橢圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知橢圓的焦點在x軸上，a=4，b=2，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{3}$，焦點坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），（-2$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，作差$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0，由中點坐標(biāo)公式及斜率公式可知：k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，利用直線的點斜式方程，即可求得直線AB的方程．

解答 解：（1）由橢圓C：x²+4y²=16，則$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可知橢圓的焦點在x軸上，
a=4，b=2，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓的焦點坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），（-2$\sqrt{3}$，0），
 離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）設(shè)過M點的直線與橢圓交于點A，B兩點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{16}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{16}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4}$=0
由中點坐標(biāo)公式，得$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=1，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
則所求直線方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-2），
∴x+2y-4=0．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查中點坐標(biāo)公式，直線的斜率公式及點差法應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．