Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過右焦點F且不與x軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，AB的垂直平分線交x軸于點N，求$\frac{NF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為：y=k（x-c）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立可得：（b²+k²a²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式可得：|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{2a^{2}（1+{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，AB的垂直平分線為：$y-{y}_{0}=-\frac{1}{k}（x-{x}_{0}）$，可得|NF|=c-x_N，即可得出$\frac{|NF|}{|AB|}$．

解答 解：設(shè)直線l的方程為：y=k（x-c）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，化為（b²+k²a²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}{k}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{2a^{2}（1+{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴y₀=k（x₀-c）=-$\frac{^{2}ck}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴AB的垂直平分線為：$y+\frac{^{2}ck}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}（x-\frac{{a}^{2}{k}^{2}c}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}）$，
令y=0，解得x_N=$\frac{{c}^{3}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，∴$（\frac{{c}^{3}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，0）$．
∴|NF|=c-x_N=$\frac{^{2}c（1+{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴$\frac{|NF|}{|AB|}$=$\frac{c}{2a}$．
當(dāng)k=0時也成立．
∴$\frac{|NF|}{|AB|}$=$\frac{c}{2a}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、線段的垂直平分線方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．