Question

5．在平面直角坐標系xOy中，己知點 A（-3，4），B（9，0），C，D分別為線段OA，OB上的動點，且滿足AC=BD．
（1）若AC=4，求直線CD的方程；
（2）證明：△OCD的外接圓恒過定點（異于原點O）．
（3）當△OCD的外接圓面積為$\frac{25π}{8}$時，求△OCD的外接圓方程．

Answer 1

分析 （1）求出C，D的坐標，可得直線CD的斜率，即可求直線CD的方程；
（2）利用圓的一般方程，可得△OCD的外接圓的方程為x²+y²-4x-3y-5m（x+2y）=0，令x²+y²-4x-3y=0，則x+2y=0，即可得出：△OCD的外接圓恒過定點（異于原點O）．
（3）當△OCD的外接圓面積為$\frac{25π}{8}$時，半徑為$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，由（2）知圓心為（$\frac{5m+4}{2}$，$\frac{10m+3}{2}$），又過定點（2，-1），
求出圓的半徑，建立方程求出m，即可求△OCD的外接圓方程．

解答 解：（1）因為A（-3，4），所以OA=5，
又因為AC=4，所以OC=1，所以C（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），…2分
由BD=4，得D（5，0），
所以直線CD的斜率$\frac{0-\frac{4}{5}}{5-（-\frac{3}{5}）}$=-$\frac{1}{7}$，…4分
所以直線CD的方程為y=-$\frac{1}{7}$（x-5），即x+7y-5=0．…5分
（2）設C（-3m，4m）（0＜m≤1），則OC=5m．
所以AC=OA-OC=5-5m，
因為AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，
所以D點的坐標為（5m+4，0）…6分
又設△OCD的外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{9{m}^{2}+16{m}^{2}-3mD+4mE+F=0}\\{（5m+4）^{2}+（5m+4）D+F=0}\end{array}\right.$…8分
解之得D=-（5m+4），F(xiàn)=0，E=-10m-3，
所以△OCD的外接圓的方程為x²+y²-4x-3y-5m（x+2y）=0，
令x²+y²-4x-3y=0，則x+2y=0，所以$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$
所以△OCD的外接圓恒過定點為（2，-1）．…12分
（3）由題知外接圓面積為$\frac{25}{2}π$時半徑為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$…13分
由（2）知圓心為（$\frac{5m+4}{2}$，$\frac{10m+3}{2}$），又過定點（2，-1），
故圓的半徑為r=$\sqrt{（\frac{5m+4}{2}-2）^{2}+（\frac{10m+3}{2}+1）^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{5{m}^{2}+4m+1}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
即5m²+4m-1=0得m=-1或m=$\frac{1}{5}$
因為0＜m≤1
所以m=$\frac{1}{5}$
此時所求圓方程為x²+y²-5x-5y=0…16分．

點評 本題考查圓的方程，考查外接圓恒過定點，考查待定系數(shù)法的運用，考查系數(shù)分析解決問題的能力，屬于中檔題．