設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-bx2,其圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處切線的斜率為-3.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(用只含有b的式子表示);
(2)當(dāng)a=2時,令g(x)=f(x)-kx,設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)=0的兩個根,x0是x1,x2的等差中項,求證:g′(x0)<0(g′(x)為函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)).
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由函數(shù)圖象在在點(diǎn)P(2,f(2))處切線的斜率為-3得到a與b的關(guān)系,用b表示a,代入導(dǎo)函數(shù)解析式,然后分b=0,b<0,b>0分類求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由a的值求解b的值,得到函數(shù)g(x)的解析式,把函數(shù)的兩個零點(diǎn)代入函數(shù)所對應(yīng)的方程,求解得到k的值,求出g′(x0),借助于等差中項的概念把x0用x1,x2表示,換元后進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,由單調(diào)性說明g′(x0)<0成立.
解答: (1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
f′(x)=
a
x
-2bx
,則f′(2)=
a
2
-4b=-3
,即a=8b-6.
于是f′(x)=
-2bx2+(8b-6)
x

①當(dāng)b=0時,f′(x)=
-6
x
<0
,f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù);
②當(dāng)b<0時,令f'(x)=0,得x=
4b-3
b
(負(fù)舍),
∴f(x)在(0 ,  
4b-3
b
)
上是單調(diào)減函數(shù),在(
4b-3
b
 ,  +∞)
上是單調(diào)增函數(shù);
③當(dāng)b>0時,若0<b≤
3
4
,則f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)減函數(shù);
b>
3
4
,令f'(x)=0,得x=
4b-3
b
(負(fù)舍),
∴f(x)在(0 ,  
4b-3
b
)
上單調(diào)增函數(shù),在(
4b-3
b
 ,  +∞)
上單調(diào)減函數(shù);
綜上,若b<0,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0 ,  
4b-3
b
)
,單調(diào)增區(qū)間為(
4b-3
b
 ,  +∞)
;
0≤b≤
3
4
,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞);
b>
3
4
,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0 ,  
4b-3
b
)
,單調(diào)減區(qū)間為(
4b-3
b
 ,  +∞)

(2)證明:∵a=2,a=8b-6,
∴b=1,即g(x)=2lnx-x2-kx.
∵g(x)的兩零點(diǎn)為x1,x2,則
2lnx1-x12-kx1=0 
2lnx2-x22-kx2=0 
,
相減得:2(lnx1-lnx2)-(x12-x22)-k(x1-x2)=0
∵x1≠x2,
k=
2(lnx1-lnx2)
x1-x2
-(x1+x2)

于是g′(x0)=
2
x0
-2x0-k=
4
x1+x2
-
2(lnx1-lnx2)
x1-x2

=
2
x1-x2
[
2(x1-x2)
x1+x2
-(lnx1-lnx2)]=
2
x1-x2
[
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
-ln
x1
x2
]

t=
x1
x2
,t∈(0,  1)
φ(t)=
2(t-1)
t+1
-lnt=2-
4
t+1
-lnt
,
φ′(t)=
4
(t+1)2
-
1
t
=
-(t-1)2
t(t+1)2
<0
,則φ(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,
則φ(t)>φ(1)=0,
2
x1-x2
<0
,則g'(x0)<0.命題得證.
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了換元法,是難度較大的題目.
練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)某固定測速點(diǎn)測得的某時段內(nèi)過往的100輛機(jī)動車的行駛速度(單位:km/h)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.該路段限速標(biāo)志牌提示機(jī)動車輛正常行駛速度為60km/h~120km/h,則該時段內(nèi)過往的這100輛機(jī)動車中屬非正常行駛的有
 
輛,圖中的x值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),它在[0,+∞)上是減函數(shù).則下列各式一定成立的是(  )
A、f(0)<f(6)
B、f(-3)>f(2)
C、f(-1)>f(3)
D、f(-2)<f(-3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示是一個幾何體的三視圖,若該幾何體的體積為
1
2
,則主視圖中三角形的高x的值為(  )
A、
1
2
B、
3
4
C、1
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m為實(shí)數(shù),f(x)=2x2-2mx+m-1(0≤m≤2)的最小值記為g(m),試求g(m)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)A(0,-2),B(0,4),動點(diǎn)P(x,y)滿足
PA
PB
=y2-8
,動點(diǎn)P的軌跡與直線y=x+2交于C,D兩點(diǎn).
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;    
(2)求弦長|CD|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某旅行社為調(diào)查市民喜歡“人文景觀”景點(diǎn)是否與年齡有關(guān),隨機(jī)抽取了55名市民,得到數(shù)據(jù)如下表:
喜歡 不喜歡 合計
大于40歲 20 5 25
20歲至40歲 10 20 30
合計 30 25 55
(Ⅰ)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“人文景觀”景點(diǎn)與年齡有關(guān)?
(Ⅱ)用分層抽樣的方法從喜歡“人文景觀”景點(diǎn)的市民中隨機(jī)抽取6人作進(jìn)一步調(diào)查,將這6位市民作為一個樣本,從中任選2人,求恰有1位“大于40歲”的市民和1位“20歲至40歲”的市民的概率.
下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a(a,b∈R,a≠0)
(1)當(dāng)a=b時,f(x)在[
a
2
,a]上有最小值
3a
4
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若f(x)-2在區(qū)間[1,2]上至少有一個零點(diǎn),求a2+b2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x),在[2,+∞)單調(diào)遞增,對任意實(shí)數(shù)x恒有f(2+x)=f(2-x)成立,若f(x)<f(x+2),則x的取值范圍是
 

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