Question

已知二次函數f（x）=ax²+（2b+1）x-a（a，b∈R，a≠0）
（1）當a=b時，f（x）在[

a

2

，a]上有最小值

3a

4

，求實數a的值；
（2）若f（x）-2在區(qū)間[1，2]上至少有一個零點，求a²+b²的最小值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由給定區(qū)間可判斷a的符號，進而分析出函數在區(qū)間[

a

2

，a]上的單調性，結合已知中函數的最小值，可求出滿足條件的a值．
（2）令ax²+（2b+1）x-a-2=（x²-1）a+2xb+x-2=0，并將其看成為平面直角坐標系a-O-b中的一條直線，由于直線上一點（a，b）到原點的距離大于等于原點到直線的距離，構造關于a，b，x的不等式，結合對勾函數的單調性，可得a²+b²的最小值．

解答： 解：（1）∵區(qū)間[

a

2

，a]中

a

2

＜a，故a＞0，
當a=b時，f（x）=ax²+（2a+1）x-a的圖象開口向上，對稱軸為直線x=-

2a+1

2a

，
∵-

2a+1

2a

＜0＜

a

2

＜a，
故f（x）在[

a

2

，a]上為增函數，
當x=

a

2

時，函數有最小值

3a

4

，
即f（

a

2

）=

a3

4

+a2-

a

2

=

3a

4

，
即a（a+5）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1．
（2）令ax²+（2b+1）x-a=（x²-1）a+2xb+x=0，將其看成為平面直角坐標系a-O-b中的一條直線，
由于直線上一點（a，b）到原點的距離大于等于原點到直線的距離，
即

a2+b2

≥

|x-2|

(x2-1)2+(2x)2

=

|x-2|

(x2+1)2

=

|x-2|

|x2+1|

，
令g（x）=

|x-2|

|x2+1|

=|

1

(x-2)+ 5 x-2 +4

|，
則

a2+b2

≥g（x）_max，
∵y=x-2+

5

x-2

在x∈[1，2）是減函數，
故g（x）=

|x-2|

|x2+1|

=|

1

(x-2)+ 5 x-2 +4

|≤g（1）=

1

2

，
故a²+b²的最小值為

1

4

．

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，對勾函數的圖象和性質，兩點之間距離公式，點到直線的距離公式，是函數與解析幾何的綜合應用，難度較大．