Question

9．f（x）是定義在非零實(shí)數(shù)上的增函數(shù)，且滿足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：f（x）是偶函數(shù)；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（3）依題意，由f（6）=1⇒f（36）=2，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0，
則f（1）=0．
（2）令x=1，y=-1得f（-1）=f（1）-f（-1），
即f（-1）=0，
令y=-x，則f（-1）=f（x）-f（-x）=0，
即f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（3））∵f（6）=1，∴f（36）-f（6）=f（6），
∴f（36）=2f（6）=2．
由f（x+5）-f（$\frac{1}{x}$）＜2．
得f（$\frac{x+5}{\frac{1}{x}}$）＜f（36），
即f（x（x+5））＜f（36），
∵f（x）是定義在非零實(shí)數(shù)上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+5≠0}\\{x≠0}\\{x（x+5）＜36}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≠-5}\\{x≠0}\\{{x}^{2}+5x-36＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≠-5}\\{x≠0}\\{-9＜x＜4}\end{array}\right.$，即-9＜x＜4且x≠0，且x≠-5
即不等式的解集為{x|-9＜x＜4且x≠0且x≠-5}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查不等式的解法，屬于中檔題．