Question

4．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是自原點出發(fā)的一條折線，當n≤y≤n+1（n=0，1，2…）時，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數(shù)b≠1），設數(shù)列{x_n}，由f（x_n）=n（n=1，2…）定義，
（文科）則x₁+x₂=$2+\frac{1}$
（理科）則x_n的通項公式為${x}_{n}=\frac{b-\frac{1}{^{n-1}}}{b-1}$．

Answer 1

分析 通過f（0）=0、f（x₁）=1，可知$\frac{f（{x}_{1}）-f（0）}{{x}_{1}-0}$=1，計算可知x₁=1，通過f（x₂）=2可知$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=b，計算可知x₂-x₁=$\frac{1}$；由此入手，通過記x₀=0可知$\frac{f（{x}_{n}）-{f（x}_{n-1}）}{{x}_{n}-{x}_{n-1}}$=b^n-1，進而可知數(shù)列{x_n-x_n-1}是以1為首項、$\frac{1}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意f（0）=0，
∵f（x₁）=1，
∴當0≤y≤1時，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b⁰=1的線段，
故由$\frac{f（{x}_{1}）-f（0）}{{x}_{1}-0}$=1，可知x₁=1；
又∵f（x₂）=2，
∴當1≤y≤2時，函數(shù)y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，
故由$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=b，可知x₂-x₁=$\frac{1}$，
∴x₂=x₁+$\frac{1}$=1+$\frac{1}$；
于是x₁+x₂=$2+\frac{1}$．
記x₀=0，由函數(shù)y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n-1，
可知$\frac{f（{x}_{n}）-{f（x}_{n-1}）}{{x}_{n}-{x}_{n-1}}$=b^n-1，
又∵f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，
∴x_n-x_n-1=$\frac{1}{^{n-1}}$（n=1，2，…），
從而數(shù)列{x_n-x_n-1}是以1為首項、$\frac{1}$為公比的等比數(shù)列，
又∵b≠1，
∴x_n=$\sum_{k=1}^{n}（{x}_{k}-{x}_{k-1}）$=1+$\frac{1}$+…+$\frac{1}{^{n-1}}$=$\frac{b-\frac{1}{^{n-1}}}{b-1}$；
故答案為：$2+\frac{1}$、${x}_{n}=\frac{b-\frac{1}{^{n-1}}}{b-1}$．

點評 本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列等基礎知識，考查歸納、推理和綜合的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．