Question

設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=-x²+4x．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=2^x-1+m，若對任意x₁∈[-1，4]，總存在x₂∈[2，5]，使f（x₁）=g（x₂），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（x）的解析式，并解不等式f（x）≥x；
（Ⅱ）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合方程根與函數(shù)之間的關(guān)系，建立條件關(guān)系，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x=0時，f（x）=0；
當(dāng)x＜0時，有-x＞0，
由f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）]=x²+4x．
∴f（x）的解析式為f(x)=

-x2+4x，x≥0 x2+4x， x＜0.

，
當(dāng)x≥0時，f（x）≥x為-x²+4x≥x，解得0≤x≤3；
當(dāng)x＜0時，f（x）≥x為x²+4x≥x，解得x≤-3．
故不等式f（x）≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3}．
（Ⅱ）當(dāng)-1≤x＜0時，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4，
知f（x）∈[-3，0）；
當(dāng)0≤x≤4時，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
知f（x）∈[0，4]，
∴當(dāng)x₁∈[-1，4]時，f（x₁）∈[-3，4]．
∵g（x）=2^x-1+m是R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x₂∈[2，5]時，g（x₂）∈[2+m，16+m]，
∵對任意x₁∈[-1，4]，總存在x₂∈[2，5]使f（x₁）=g（x₂），
∴[-3，4]⊆[2+m，16+m]，
則

2+m≤-3 16+m≥4

，解得-12≤m≤-5，
故實數(shù)m的取值范圍是[-12，-5]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用函數(shù)的奇偶性將變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．