Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=（

1

2

）^x-1，則關(guān)于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：由偶函數(shù)f（x）=f（x+2），可知定義在R上的函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，由x∈[-1，0]時(shí)f（x）=（

1

2

）^x-1的圖象，可得到x∈[0，1]時(shí)f（x）的圖象，從而得到其在[-1，3]內(nèi)的圖象，關(guān)于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)就是f（x）與g（x）=log₃（x+2）=0在[-1，3]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：∵f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，
又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=（

1

2

）^x-1，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1）=1，f（，0）=0，
又f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴f（1）=1，
令g（x）=log₃（x+2），g（-1）=0，g（1）=1，，g（x）為增函數(shù)，
則關(guān)于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)
就是f（x）與g（x）=log₃（x+2）的圖象在[-1，3]內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
其圖象如下：
由圖象可得，兩曲線在[-1，3]內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，作出函數(shù)圖象是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．