Question

16．已知（a+1）x-1-lnx≤0對(duì)于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立，則a的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 1-2ln2
• D． $\frac{-1+ln2}{2}$

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a${（\frac{1+lnx}{x}-1）}_{min}$對(duì)于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立，設(shè)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-1，求出函數(shù)f（x）的最小值即可求出a的最大值．

解答 解：（a+1）x-1-lnx≤0對(duì)于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-1對(duì)于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立
?a≤${（\frac{1+lnx}{x}-1）}_{min}$對(duì)于任意$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$恒成立
設(shè)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-1，$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，則f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）遞增，在（1，2]遞減，
∴f（$\frac{1}{2}$）或f（2）最小，
而f（$\frac{1}{2}$）=1-2ln2，f（2）=$\frac{1}{2}$ln2-$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）＜f（2），
∴a的最大值是1-2ln2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)法求極值的綜合應(yīng)用，求得f（x）的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題