Question

8．△ABC中，已知AB=a（a是正常數(shù)），∠BAC=$\frac{π}{3}$，設(shè)AC=x （x＞0）．
（1）當BC＞$\sqrt{7}$a時，求x的取值范圍（用a表示）；
（2）若對任意正數(shù)x，BC＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示三邊關(guān)系，然后配方變形，解不等式，求最值．

解答 解：（1）由已知結(jié)合余弦定理得到a²+x²-2axcos$\frac{π}{3}$＞7a²，即a²+x²-ax＞7a²，整理得（x-$\frac{a}{2}$）²＞$\frac{25}{4}{a}^{2}$，x＞0，解得，x＞3a，
所以當BC＞$\sqrt{7}$a時，x的取值范圍是（3a，+∞）；
（2）同理由對任意正數(shù)x，BC＞1恒成立，得到a²+x²-2axcos$\frac{π}{3}$＞1恒成立，所以（x-$\frac{a}{2}$）²＞1-$\frac{3}{4}{a}^{2}$恒成立，因為（x-$\frac{a}{2}$）²≥0，所以只要1-$\frac{3}{4}{a}^{2}$＜0，解得a＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以對任意正數(shù)x，BC＞1恒成立，a的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了解三角形，用到了余弦定理，一元二次不等式的解法和恒成立問題的處理．