Question

求函數(shù)y=

sin2x+3cosx-4

cosx-2

的值域．

Answer 1

分析：利用三角公式把函數(shù)表達式化簡，并進行常數(shù)分離，換元構(gòu)造一個新函數(shù)，注意新函數(shù)自變量的范圍，利用新函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．

解答：解：y=

1-(coax)2+3cosx -4

cosx -2

=

-cosx(cosx -2)+(cosx -2)-1

cosx - 2

=-cosx+1-

1

cosx -2

=-（cosx-2）+

-1

cosx -2

-1=（2-cosx ）+

1

2 - cosx

-1，
又  1≤2-cosx≤3，∴

1

3

≤

1

2 - cosx

≤1，
令2-cosx=t，則  y=t+

1

t

-1，且 1≤t≤3
∵函數(shù) y=t+

1

t

-1，在區(qū)間 （1，3）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴t=1 時，函數(shù) y=t+

1

t

-1 有最小值1，
t=3時，函數(shù) y=t+

1

t

-1 有最大值

7

3

．

點評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)換元的數(shù)學(xué)思想，換元中，注意新變量的范圍．