Question

17．已知點(diǎn)A、B、C、D在同-個(gè)球面上，DA⊥平面ABC，DA=AB=AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，則球的半徑是$\frac{\sqrt{7}}{2}$．若∠BAC=120°，結(jié)果又如何？

Answer 1

分析 先求出BC，利用正弦定理求出△ABC的外接圓半徑，再求出球的半徑．

解答 解：由題意，△ABC的外接圓半徑為r，球的半徑是R，
∵AB=AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
∴2R=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
∴R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
∵AB=AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×（-\frac{1}{2}）}$=3，
∴2r=$\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴2R=$\sqrt{12+3}$=$\sqrt{15}$，
∴R=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．