Question

3．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，長軸長等于4，離心率為$\frac{1}{2}$，直線AB過焦點F₁且與橢圓C交于A、B兩點（A在第一象限），△F₁AF₂與△F₁BF₂的面積比為7：3．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由于2a=4，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）可設(shè)直線AB的方程為：my-1=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3m²+4）y²-6my-9=0，由△F₁AF₂與△F₁BF₂的面積比為7：3．可得$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{7}{3}$，與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立解出m即可得出．

解答 解：（1）∵2a=4，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）可設(shè)直線AB的方程為：my-1=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my-1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，（*）
∵△F₁AF₂與△F₁BF₂的面積比為7：3．
∴$\frac{{y}_{1}}{-{y}_{2}}$=$\frac{7}{3}$，
與（*）聯(lián)立可得：m=$±\frac{4}{3}$．
∴直線BA的方程為：$±\frac{4}{3}$y-1=x，即3x±4y+3=0．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．