Question

17．已知三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最大側(cè)面積為（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 畫出幾何體的圖形，判斷三棱錐的形狀，求出即可．

解答 解：由題意考查幾何體的圖形如圖，
該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形，頂點(diǎn)在底面的射影E為斜邊中點(diǎn)的三棱錐，
三棱錐的數(shù)據(jù)如圖，可得：AB=AC=AD=2$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{3}$，
AE=BE=CE=DE=2，
則利用余弦定理可得：cos∠BAD=$\frac{1}{4}$，cos∠CAD=$\frac{3}{4}$，
可求：sin∠BAD=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，sin∠CAD=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
則S_△ABC=4×$2×\frac{1}{2}$=4．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD•sin∠BAD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$．
S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC•AD•sin∠CAD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\sqrt{7}$．
∴S_△ABC＞S_△ABD＞S_△ADC，
∴則該三棱錐最大側(cè)面積為：S_△ABC=4×$2×\frac{1}{2}$=4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由三視圖求面積、體積，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．