Question

9．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥面ABC，AC₁⊥面CBA₁，AC₁∩A₁C=F．
（1）證明：A₁C₁⊥B₁C₁．
（2）設A₁C₁=B₁C₁=2，E為AB的中點，求E點到FC₁B₁的距離．

Answer 1

分析 （1）證明：B₁C₁⊥平面A₁C₁A，即可證明A₁C₁⊥B₁C₁．
（2）如圖所示，分別取AC，AF的中點G，H，連接GE，GH，則GE∥BC，GH∥CF，可得E點到FC₁B₁的距離等于G點到FC₁B₁的距離，即可求E點到FC₁B₁的距離．

解答 （1）證明：∵AC₁⊥面CBA₁，BC?面CBA₁，
∴AC₁⊥CB，
∵側棱AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴側棱AA₁⊥BC，
∵AC₁∩AA₁=A，
∴BC⊥平面A₁C₁A，
∵BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁A，
∵A₁C₁?平面A₁C₁A，
∴A₁C₁⊥B₁C₁．
（2）解：如圖所示，分別取AC，AF的中點G，H，連接GE，GH，則GE∥BC，GH∥CF，
∵BC∥B₁C₁，∴GE∥B₁C₁，
∵GE?平面B₁C₁F，B₁C₁?平面B₁C₁F，
∴GE∥平面B₁C₁F，
∴E點到FC₁B₁的距離等于G點到FC₁B₁的距離．
由（1）可知A₁C⊥平面B₁C₁F，四邊形A₁C₁CA是正方形
∴GH⊥平面B₁C₁F，
∵A₁C₁=B₁C₁=2，∴A₁C=2$\sqrt{2}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E點到FC₁B₁的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查點到平面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．