Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，f（1）=0，f（2）=1
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，2t]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由代入法可得a，b的方程，解方程可得f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，討論區(qū)間[t，2t]（t＞0）與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性即可得到所求最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+ax+b，f（1）=0，f（2）=1
可得1+a+b=0，4+2a+b=1，
解得a=-2，b=1，
即f（x）=x²-2x+1；
（2）顯然t＞0，由f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
當(dāng)t≥1時(shí)，區(qū)間[t，2t]為增區(qū)間，
即有f（t）取得最小值，且為（t-1）²，
f（2t）取得最大值，且為（2t-1）²；
當(dāng)2t≤1即0＜t≤$\frac{1}{2}$時(shí)，區(qū)間[t，2t]為減區(qū)間，
即有f（t）取得最大值，且為（t-1）²，
f（2t）取得最小值，且為（2t-1）²；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜t≤$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）在[t，1]遞減，[1，2t]遞增，
即有f（1）為最小值0，f（t）最大，且為（t-1）²；
當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t＜1時(shí)，f（x）在[t，1]遞減，[1，2t]遞增，
即有f（1）為最小值0，f（2t）最大，且為（2t-1）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．