Question

5．已知點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），圓C：（x+4）²+（y+b）²=16，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，若$\frac{PA}{PB}$為定值，則b=0．

Answer 1

分析 取點(diǎn)，計(jì)算$\frac{PA}{PB}$，利用$\frac{PA}{PB}$為定值，建立方程，即可求出b．

解答 解：取點(diǎn)（0，-b），可得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}{\sqrt{16+^{2}}}$
取點(diǎn)（-4，4-b），可得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{\sqrt{4+（4-b）^{2}}}{\sqrt{64+（4-b）^{2}}}$，
∴$\frac{\sqrt{4+^{2}}}{\sqrt{16+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{4+（4-b）^{2}}}{\sqrt{64+（4-b）^{2}}}$，
∴4b²+8b=0，
∴b=0或-2．
當(dāng)b=-2時(shí)，設(shè)P（m，n），由PA=tPB，可得$\sqrt{（m+2）^{2}+{n}^{2}}$=t$\sqrt{（m-4）^{2}+{n}^{2}}$，
又（m+4）²+（n-2）²=16，化簡(jiǎn)整理，可得t無解．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．