Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

3

（a+1）x²+3ax．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，判斷過點(diǎn)A（1，-

5

2

）可作曲線y=f（x）多少條切線，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a，由f′（1）=0，a=-1，從而求出函數(shù)的表達(dá)式，
（2）由△=12（a+1）²-36a＞0，解出即可，
（3）f′（x）=3（x²-1），設(shè)切點(diǎn)M（x₀，y₀），得2x03-3x02+

1

2

=0，設(shè)g（x₀）=2x03-3x02+

1

2

，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，從而得到函數(shù)g（x₀）有三個(gè)零點(diǎn)，
問題得以解決．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2

3

（a+1）x+3a，
∵f′（1）=0，
∴3+3a-2

3

（a+1）=0，
∴a=-1，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
顯然在x=1附近f′（x）符號不同，
∴x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f（x）=x³-3x，
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞不單調(diào)，
則f′（x）=0應(yīng)有二不等根，
∴△=12（a+1）²-36a＞0，
∴a²-a+1＞0，
∴a＞

1+ 5

2

，或a＜

1- 5

2

，
（3）f′（x）=3（x²-1），設(shè)切點(diǎn)M（x₀，y₀），
則M縱坐標(biāo)y₀=x03-3x₀，又f′（x₀）=3（x02-1），
∴切線的斜率為3（x02-1）=

x03-3x0+ 5 2

x0-1

，
得2x03-3x02+

1

2

=0，
設(shè)g（x₀）=2x03-3x02+

1

2

，
∴g′（x₀）=6x02-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1，
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x₀）的極大值點(diǎn)為x₀=0，極小值點(diǎn)為x₀=1，
∵

g(0)= 1 2 g(1)=- 1 2

，
∴函數(shù)g（x₀）有三個(gè)零點(diǎn)，
∴方程2x03-3x02+

1

2

=0有三個(gè)實(shí)根
∴過點(diǎn)A（1，-

5

2

）可作曲線y=f（x）三條切線．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，求曲線的方程，是一道綜合題．