Question

【題目】已知點P為橢圓C：1（a＞b＞0）上一點，F1，F2分別是橢圓C的左、右兩個焦點，|PF1|＝2|PF2|，且cos∠F1PF2，過點F2且斜率為k的直線l與橢圓C交于A，B兩點．

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若點M（1，）在C上，求△MAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）3

【解析】

（1）由余弦定理得，與關系，求出，的比值即是離心率的值；（2）由題意設直線與橢圓聯(lián)立求出弦長，再求到直線距離求出面積，再利用函數(shù)的單調性求出面積的最大值．

（1）在△PF1F2中，設|PF2|＝x，則|PF1|＝2x，cos∠F1PF2，

由余弦定理得，（2c）2＝x2+（2x）2﹣2x2xcos∠F1PF2＝5x2﹣4x2，

∴xc，2xc，所以2a＝x+2x＝4c∴e，

所以橢圓的離心率為．

（2）由（1）得：b2＝a2﹣c2＝3c2，橢圓的方程為：1，

點M在橢圓上，1，

∴c2＝1，b2＝3，a2＝4，

所以橢圓的方程為1．右焦點（1，0），

設直線l的方程：y＝k（x﹣1），A（x，y），B（x'，y'），

當k＝0時，|AB|＝2a＝4，M到l的距離為，S△MAB3，

當k≠0時，聯(lián)立與橢圓的方程整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

所以x+x'，xx'，

弦長|AB||x﹣x'|12，

M在直線l的距離d，

所以S△MAB|AB|d＝99，

設t=,

,分母是一個增函數(shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），

所以是一個減函數(shù)，

所以93，

綜上△MAB面積的最大值為3．