已知橢圓的左右兩焦點分別為,是橢圓上一點,且在軸上方,.
(1)求橢圓的離心率的取值范圍;
(2)當取最大值時,過的圓的截軸的線段長為6,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,過橢圓右準線上任一點引圓的兩條切線,切點分別為.試探究直線是否過定點?若過定點,請求出該定點;否則,請說明理由.
(1);(2);(3).
解析試題分析:(1)由,,.即可求得的取值范圍.
(2)由(1)可得.以及是圓的直徑可得.即可求出橢圓的方程.
(3)由(2)可得圓Q的方程.切點M,N所在的圓的方程上任一點坐標為P(x,y).由.即得.則M,N所在的直線方程為.兩圓方程對減即可得到.根據(jù)過定點的知識即可求出定點.本題涉及的知識點較多,滲透方程的思想,加強對幾何圖形的關(guān)系理解.
試題解析: , ∴,.
(1),∴,在上單調(diào)遞減.
∴時,最小,時,最大,∴,∴.
(2)當時,,∴,∴.
∵,∴是圓的直徑,圓心是的中點,∴在y軸上截得的弦長就是直徑,∴=6.又,∴.∴橢圓方程是 10分
(3)由(2)得到,于是圓心,半徑為3,圓的方程是.橢圓的右準線方程為,,∵直線AM,AN是圓Q的兩條切線,∴切點M,N在以AQ為直徑的圓上.設(shè)A點坐標為,∴該圓方程為.∴直線MN是兩圓的公共弦,兩圓方程相減得:,這就是直線MN的方程.該直線化為:
∴直線MN必過定點. 16分
考點:1.橢圓的離心率.2.橢圓的標準方程.3.兩圓的公共線的方程.4.過定點問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點(點在第一象限).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知為橢圓的左頂點,平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關(guān)于直線對稱,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓 的左、右焦點分別是、,是橢圓右準線上的一點,線段的垂直平分線過點.又直線:按向量平移后的直線是,直線:按向量平移后的直線是 (其中)。
(1) 求橢圓的離心率的取值范圍。
(2)當離心率最小且時,求橢圓的方程。
(3)若直線與相交于(2)中所求得的橢圓內(nèi)的一點,且與這個橢圓交于、兩點,與這個橢圓交于、兩點。求四邊形ABCD面積的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知圓為圓上一動點,點是線段的垂直平分線與直線的交點.
(1)求點的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)點是曲線上任意一點,寫出曲線在點處的切線的方程;(不要求證明)
(3)直線過切點與直線垂直,點關(guān)于直線的對稱點為,證明:直線恒過一定點,并求定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(1)已知定點、,動點N滿足(O為坐標原點),,,,求點P的軌跡方程.
(2)如圖,已知橢圓的上、下頂點分別為,點在橢圓上,且異于點,直線與直線分別交于點,
(。┰O(shè)直線的斜率分別為、,求證:為定值;
(ⅱ)當點運動時,以為直徑的圓是否經(jīng)過定點?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線上有一點,到焦點的距離為.
(Ⅰ)求及的值.
(Ⅱ)如圖,設(shè)直線與拋物線交于兩點,且,過弦的中點作垂直于軸的直線與拋物線交于點,連接.試判斷的面積是否為定值?若是,求出定值;否則,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左焦點為,離心率為,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
(1)求橢圓方程;
(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點,當面積最大時,求
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,斜率為的直線過拋物線的焦點,與拋物線交于兩點A、B, M為拋物線弧AB上的動點.
(Ⅰ).若,求拋物線的方程;
(Ⅱ).求△ABM面積的最大值.
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