設直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

2y2－x2＝1(x2<3)．

解析試題分析：將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根，故二次項系數(shù)不為0，且判別式大于0，解出a的范圍，即所求軌跡方程的定義域。根據(jù)韋達定理得到兩根之和，兩根之積（整體計算比計算出兩個根要簡單）。根據(jù)且以AB為直徑的圓過原點，可得直線AO和直線BO垂直，可利用斜率之積等于列式計算，但這種情況需對斜率存在與否進行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問題來解決。詳見解析。
試題解析：解：聯(lián)立直線與雙曲線方程得，消去y得：(a2－3)x2＋2abx＋b2＋1＝0.
∵直線與雙曲線交于A、B兩點，∴⇒a2<3.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1＋x2＝，x1·x2＝.
由⊥得x1x2＋y1y2＝0，又y1·y2＝(ax1＋b)(ax2＋b)＝a2x1x2＋ab(x1＋x2)＋b2，
∴有＋a2·－＋b2＝0.
化簡得：a2－2b2＝－1.故P點(a，b)的軌跡方程為2y2－x2＝1(x2<3)．
考點：直接法求軌跡方程

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是拋物線上的兩個點，點的坐標為，直線的斜率為k， 為坐標原點.
（Ⅰ）若拋物線的焦點在直線的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設C為W上一點，且，過兩點分別作W的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線與E交于A、B兩點，且，其中O為原點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為，記直線CA、CB的斜率分別為，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；
(2)過點(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且Q1，Q2兩點的中點為(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

（1）求此橢圓的標準方程;
（2）設P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,為的中點，判定直線與以為直徑的圓O位置關系。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右兩焦點分別為，是橢圓上一點，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當取最大值時，過的圓的截軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準線上任一點引圓的兩條切線，切點分別為．試探究直線是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，斜率為的直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點A、B， M為拋物線弧AB上的動點．

(Ⅰ)若，求拋物線的方程；
(Ⅱ)求△ABM面積的最大值．

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