Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）
（1）證明：對?x∈R，不等式f（x）≥x+1恒成立；
（2）數(shù)列{$\frac{lnn}{{n}^{2}}$}（n∈N^*）的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{{n}^{2}}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)h（x）=f（x）-x-1=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1．分別解出h′（x）＞0，h′（x）＜0，即可得出單調(diào)性極值與最值．（2）由（1）可得：對?x∈R，e^x≥x+1恒成立．令x+1=n²，則${e}^{{n}^{2}-1}≥{n}^{2}$，可得n²-1≥lnn².$\frac{lnn}{{n}^{2}}$$≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$$＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n（n+1）}）$=$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$．利用“裂項(xiàng)求和”即可證明．

解答 （1）證明：設(shè)h（x）=f（x）-x-1=e^x-x-1，h′（x）=e^x-1．
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值，h（0）=0，
∴h（x）≥h（0）=0，
∴f（x）≥x+1．
（2）解：由（1）可得：對?x∈R，e^x≥x+1恒成立．
令x+1=n²，則${e}^{{n}^{2}-1}≥{n}^{2}$，∴n²-1≥lnn²．
∴$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}}$$≥\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{2lnn}{{n}^{2}}$．
∴$\frac{lnn}{{n}^{2}}$$≤\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{n}^{2}}）$$＜\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n（n+1）}）$=$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$．
∴T_n$＜\frac{1}{2}[n-（1-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{{n}^{2}}{2（n+1）}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的性質(zhì)、“放縮法”、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．