Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，斜率為1的直線過F且交橢圓于A、B兩點，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共線，則此橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 直線與橢圓方程聯(lián)立用未達定理的A、B兩點坐標的關系，據(jù)向量共線的條件得橢圓中a，b，c的關系，從而求得橢圓的離心率．

解答 解：設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則直線AB的方程為y=x-c，代入橢圓方程的$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
化簡得（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），與$\overrightarrow{a}$=（3，-1）共線
∴3（y₁+y₂）+（x₁+x₂）=0，又y₁=x₁-c，y₂=x₂-c，
∴3（x₁+x₂-2c）+（x₁+x₂）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$c，
∴$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{3}{2}$c
∴a²=3b²．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=a，
故離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 考查向量共線為圓錐曲線提供已知條件；處理直線與圓錐曲線位置關系常用的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立用韋達定理．