Question

10．如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E、F分別為邊AD、AB的中點(diǎn)．將△ABC沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．如圖2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：DG∥平面ABE；
（Ⅱ）求直線CE與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連接FG，EF，則四邊形為平行四邊形，于是DG∥EF，從而得出DG∥平面ABE；
（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{CE}$和平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞|即為直線CE與平面ABC所成角的正弦值．

解答 證明：（I）連接FG，E
∵F，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，又DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$DE．
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴DG∥EF，又DG?平面ABE，EF?平面ABE，
∴DG∥平面ABE．
（II）在圖1中，∵E，F(xiàn)分別是正方形AD，AB的中點(diǎn)，∴BE⊥CF．
故在圖2中，OF⊥BE，OC⊥OB．
∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴OF⊥平面BCDE．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0，0），C（0，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0），E（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，0），
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-z=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（2，1，4）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}$=-2$\sqrt{5}$．cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CE}|}$=-$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．
∴直線CE與平面ABC所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞|=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．