Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）已知，，設(shè)函數(shù)的最大值為，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，得到存在唯一，使得，進(jìn)而得出的單調(diào)性和最值，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．

（Ⅰ）由題意，函數(shù)，則，

①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）依題意得，則，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由（Ⅰ）可知在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/span>，

所以存在唯一，使得.

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；

因此在處取得最大值，

且最大值為，

設(shè)，則，

所以在上遞減，所以，即．