Question

19．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}=（{1，\sqrt{3}}），\overrightarrow{BC}=（{cosA，sinA}）$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}$，
（1）求角A；  
（2）求邊AC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標以及數(shù)量積得到關于A的等式解之；
（2）由（1）求出cosB，結合余弦定理求AC．

解答 解：（1）由已知$\overrightarrow{AB}=（{1，\sqrt{3}}），\overrightarrow{BC}=（{cosA，sinA}）$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}$＞0，
所以得到cosA+$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$，所以sin（A+30°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，30°＜A+30°＜150°，所以A=30°；
（2）由（1）得cosB=-$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以B=30°，
所以AC²=AB²+BC²-2AB×BCcosB=4+1-4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5-2$\sqrt{3}$，所以AC=$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標運算與三角函數(shù)相結合的問題；注意三角形兩邊對應向量的夾角與內角的關系．