Question

圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.

(1) 把圓O₁和圓O₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(2) 求經(jīng)過圓O₁、圓O₂交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)、極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．

(1) x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ²＝4ρcosθ，所以x²＋y²＝4x.即圓O₁的直角坐標(biāo)方程為x²＋y²－4x＝0，同理圓O₂的直角坐標(biāo)方程為x²＋y²＋4y＝0.

(2) 由即圓O₁、圓O₂交于點(diǎn)(0，0)和(2，－2)，故過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為y＝－x.

由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同．所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式，只要求至少有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可．例如對于極坐標(biāo)方程ρ＝θ，點(diǎn)M可以表示為等多種形式，其中，只有的極坐標(biāo)滿足方程ρ＝θ.