Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，見解析 （2）證明見解析

【解析】

（1）由得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性即可

（2）設(shè)，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)可得在遞增，，即，進(jìn)而可得，即，再由的單調(diào)性即可得到.

（1）由得，令，

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

∵，

由得；由得，

∴函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，，

又當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）由（1）知，不妨設(shè)，設(shè)，

∴，

由于，又易知是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，有，又，得，

所以在遞增，，即.

由得，又，

∴，

由在上單調(diào)遞增，得在單調(diào)遞減，

又，∴，即.