Question

16．已知關(guān)于x的不等式|x-m|≤n的解集為{x|0≤x≤4}．
（1）求實(shí)數(shù)m、n的值；
（2）設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{m}{a}$+$\frac{n}$，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先解絕對(duì)值不等式，再根據(jù)不等式的解集即可求出m，n的值，
（2）先化簡(jiǎn)a+b=$\frac{m}{a}$+$\frac{n}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{2（a+b）}{ab}$，得到ab=2，再根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：（1）|x-m|≤n的解為m-n＜x＜m+n，關(guān)于x的不等式|x-m|≤n的解集為{x|0≤x≤4}．
∴m-n=0，m+n=4，
解得m=n=2，
（2）設(shè)a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{m}{a}$+$\frac{n}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{2（a+b）}{ab}$，
即ab=2，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)，
故a+b的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．