Question

14．試用向量方法證明“平行四邊形的對角線互相平分”．

Answer 1

分析 要證明平行四邊形的對角線互相平分，可以根據(jù)向量的模長相等進行證明；根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合平面向量的線性運算即可證明結(jié)論成立．

解答 證明：設O為平行四邊形ABCD對角線的交點，如圖所示；
則$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OD}$|，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OA}$|，
即AC、BD互相平分；
故“平行四邊形的對角線互相平分”．

點評 本題考查了利用向量法證明線段平行與相等的應用問題，是基礎題目．