Question

16．各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且3S_n=a_n•a_n+1，求a₂+a₄+…+a_2n．

Answer 1

分析 利用3S_n=a_n•a_n+1與3S_n+1=a_n+1•a_n+2作差可知3a_n+1=a_n+1•a_n+2-a_n•a_n+1，通過兩邊同時除以a_n+1可知數(shù)列{a_2n}是以3為首項、3為公差的等差數(shù)列，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵3S_n=a_n•a_n+1，
∴3S_n+1=a_n+1•a_n+2，
兩式相減得：3a_n+1=a_n+1•a_n+2-a_n•a_n+1，
∵a_n＞0，
∴$\frac{3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}•{a}_{n+2}-{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$，
即3=a_n+2-a_n，
又∵3a₁=a₁•a₂，a_n＞0，
∴a₂=3，
∴數(shù)列{a_2n}是以3為首項、3為公差的等差數(shù)列，
∴a₂+a₄+…+a_2n=3n+3•$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{3}{2}•n•（n+1）$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．