11.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a7=8,S1+S2=5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若$\sqrt{_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$與$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中項,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得$\frac{{T}_{n}}{{T}_{k}}$≥$\frac{2k+1}{k}$•36-k恒成立的最小正整數(shù)k的值.

分析 (1)利用等差數(shù)列的通項公式即可得出;
(2)利用“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1+a7=8,S1+S2=5.
∴2a1+6d=8,3a1+d=5,
解得a1=$\frac{11}{8}$,d=$\frac{7}{8}$.
∴an=$\frac{11}{8}+\frac{7}{8}(n-1)$=$\frac{7n+4}{8}$.
(2)∵$\sqrt{_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n}}$與$\frac{1}{{a}_{n+1}}$的等比中項,∴bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{64}{(7n+4)(7n+11)}$=$\frac{64}{7}(\frac{1}{7n+4}-\frac{1}{7n+11})$.
∴Tn=$\frac{64}{7}[(\frac{1}{11}-\frac{1}{18})$+$(\frac{1}{18}-\frac{1}{25})$+…+$(\frac{1}{7n+4}-\frac{1}{7n+11})]$
=$\frac{64}{7}(\frac{1}{11}-\frac{1}{7n+11})$≥$\frac{64}{7}×(\frac{1}{11}-\frac{1}{18})$=$\frac{32}{99}$.
∵$\frac{{T}_{n}}{{T}_{k}}$≥$\frac{2k+1}{k}$•36-k恒成立,
∴$\frac{32}{99}$≥$\frac{64}{7}$$(\frac{1}{11}-\frac{1}{7k+11})$×$\frac{2k+1}{k}$•36-k恒成立,
化為$\frac{7k+11}{4k+2}≥{3}^{8-k}$,
經(jīng)過驗證可知:當(dāng)1≤k≤7時,式式不成立,當(dāng)k=8時,上式成立;當(dāng)k≥9時,左邊>1,而右邊<1.
因此使得上式成立的k的最小值為8.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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