Question

19．已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx，若對任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016）成立，則ω的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{1008}$
• B． $\frac{π}{1008}$
• C． $\frac{1}{2016}$
• D． $\frac{π}{2016}$

Answer 1

分析 由題意可得區(qū)間[x₀，x₀+2016]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間，利用兩角和的正弦公式求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），由2016≥$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$求得ω的最小值．

解答 解：顯然要使結(jié)論成立，只需保證區(qū)間[x₀，x₀+2016]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間即可，
又f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），則2016≥$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$，
∴ω≥$\frac{π}{2016}$，
則ω的最小值為$\frac{π}{2016}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于中檔題．