Question

4．已知函數(shù)y=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0）在（-∞，-a）和（a，+∞）內(nèi)均為增函數(shù)，在（-a、0）和（0，a）內(nèi)均為減函數(shù)．若函數(shù)f（x）=x+$\frac{t}{x}$（t＞0）在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 先由函數(shù)$y=x+\frac{{a}^{2}}{x}$的單調(diào)性，便可得出f（x）的單調(diào)性，并得出f（x）的單調(diào)增區(qū)間：（-∞，$-\sqrt{t}$），（$\sqrt{t}，+∞$），從而根據(jù)f（x）在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)便可得出0＜$\sqrt{t}≤1$，這樣即可得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）在（-∞，-$\sqrt{t}$），（$\sqrt{t}，+∞$）內(nèi)為增函數(shù)；
要使f（x）在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)，則：$\sqrt{t}≤1$；
又t＞0；
∴0＜t≤1；
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為：（0，1]．

點(diǎn)評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，能夠根據(jù)y=$x+\frac{{a}^{2}}{x}$的單調(diào)性得出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，理解f（x）在整數(shù)集合Z內(nèi)為增函數(shù)的含義．