Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線l：x-y+1=0經(jīng)過C的上頂點(diǎn)．又，直線x=-1與C相較于A、B兩點(diǎn)，M是C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AM、BM分別交直線x=-4于兩點(diǎn)P、Q．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；    
（Ⅱ）求證：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷橢圓焦點(diǎn)在x軸且b=1，利用a²-c²=1，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求解a，即可得到橢圓方程．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的表達(dá)式．設(shè)A（-1，t），B（-1，-t），將x=-1代入橢圓方程，求出AB坐標(biāo)，設(shè)M（x₀，y₀），代入橢圓方程，求出AM方程，然后求解Q縱坐標(biāo)，P的縱坐標(biāo)，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的表達(dá)式求出定值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，橢圓焦點(diǎn)在x軸且b=1…1’，
即a²-c²=1，而$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…3’，
∴a=2…4’，
從而橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…5’．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OP}=（-4，{y_P}）$，$\overrightarrow{OQ}=（-4，{y_Q}）$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=16+{y_P}•{y_Q}$…6’．
設(shè)A（-1，t），B（-1，-t），將x=-1代入C的方程，
得${t^2}=\frac{3}{4}$，∴A（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），B（-1，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）…7’，
又設(shè)M（x₀，y₀），代入C的方程，得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$…8’，
AM：$y-t=\frac{{{y_0}-t}}{{{x_0}+1}}（x+1）$，令x=-4，
得${y_Q}=t-3•\frac{{{y_0}-t}}{{{x_0}+1}}=\frac{{-3{y_0}+（{x_0}+4）t}}{{{x_0}+1}}$…9’，
同理，${y_P}=\frac{{-3{y_0}-（{x_0}+4）t}}{{{x_0}+1}}$…10’，
∴${y_P}•{y_Q}=\frac{{{{（-3{y_0}）}^2}-{{（{x_0}+4）}^2}{t^2}}}{{{{（{x_0}+1）}^2}}}$
=$\frac{{9（1-\frac{1}{4}{x_0}^2）-（{x_0}^2+8{x_0}+16）•\frac{3}{4}}}{{{{（{x_0}+1）}^2}}}$
=$\frac{{-3{x_0}^2-6{x_0}-3}}{{{{（{x_0}+1）}^2}}}=-3$…11’，
得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=13$…12’．
注：若通過M與C的左端點(diǎn)重合的特殊情況得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=13$，后無(wú)一般性證明，可打分至9’．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與體育的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，向量與圓錐曲線綜合，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．