Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1與直線y=2x+m交于A，B兩個不同點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若|AB|=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）通過直線l與橢圓交于A、B兩不同點可知聯(lián)立橢圓與直線方程后的一元二次方程中的根的判別式大于零，進而計算可得結論；
（2）利用弦長公式列出方程求解即可．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，直線l：y=2x+m，
代入橢圓方程化簡得：24x²+20mx+5m²-20=0，
∵直線l與橢圓交于A、B兩不同點，
∴△=400m²-4×24×（5m²-20）＞0，
解得：-2$\sqrt{6}$＜m＜2$\sqrt{6}$；
（2）24x²+20mx+5m²-20=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{20m}{24}$=-$\frac{5m}{6}$，x_Ax_B=$\frac{5{m}^{2}-20}{24}$，
∴弦AB長為$\sqrt{1+{2}^{2}}$|x_A-x_B|=$\sqrt{5}•\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$=$\sqrt{5}•\sqrt{（{-\frac{5m}{6}）}^{2}-4×\frac{5{m}^{2}-20}{24}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．
解得：m=$±\sqrt{14}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．