Question

3．如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA₁三條棱的長組成公比為$\sqrt{2}$的等比數(shù)列，
（1）求異面直線AD₁與BD所成角的大小；
（2）求二面角B-AD₁-D的大小．

Answer 1

分析 （1）不妨設(shè)AD=1，由AD，AB，AA₁三條棱的長組成公比為$\sqrt{2}$的等比數(shù)列，可得AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD₁⊥底面ABCD，可得DD₁⊥DB，可得DB⊥平面ADD₁，即可得出異面直線AD₁與BD所成角．
（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD₁．在Rt△ADD₁中，經(jīng)過點(diǎn)D作DO⊥AD₁，垂足為O，連接OB，可得OB⊥AD₁．∠BOD即為二面角B-AD₁-D的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）不妨設(shè)AD=1，∵AD，AB，AA₁三條棱的長組成公比為$\sqrt{2}$的等比數(shù)列，∴AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2．
在△ABD中，DB²=${1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×1×\sqrt{2}×cos4{5}^{°}$=1，解得DB=1．∴AD²+DB²=AB²，∠ADB=90°．
∴AD⊥DB．
∵DD₁⊥底面ABCD，DB?平面ABCD，∴DD₁⊥DB，
又AD∩DD₁=D，
∴DB⊥平面ADD₁，
∴DB⊥AD₁，
∴異面直線AD₁與BD所成角為90^°．
（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD₁．
在Rt△ADD₁中，經(jīng)過點(diǎn)D作DO⊥AD₁，垂足為O，連接OB，則OB⊥AD₁．
∴∠BOD即為二面角B-AD₁-D的平面角．
在Rt△ADD₁中，OD=$\frac{AD×D{D}_{1}}{A{D}_{1}}$=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△ODB中，tan∠BOD=$\frac{DB}{OD}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴∠BOD=arctan$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系空間角、直角三角形的邊角關(guān)系及其面積計算公式、勾股定理及其逆定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．