1.設(shè)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)x∈[2,4]時(shí),求f(x)的解析式;
(3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)的值.

分析 (1)令x=x-2得出f(x)=-f(x-2),由已知得f(x)=-f(x+2),于是f(x+2)=f(x-2),故而f(x)=f(x+4),得出周期為4;
(2)利用函數(shù)的奇偶性求出f(x)在[-2,0]上的解析式,再利用函數(shù)周期得出f(x)在[2,4]上的解析式;
(3)計(jì)算f(0),f(1),f(2),f(3),根據(jù)T=4得出f(4k+i),k∈N,i=0,1,2,3.

解答 解:(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x-2+2)=-f(x-2),即f(x)=-f(x-2),
又f(x)=-f(x+2),
∴f(x+2)=f(x-2),
∴f(x)=f(x+4).
∴f(x)的最小正周期是4.
(2)∵f(x)是奇函數(shù),且x=[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2,
∴當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),-x∈[0,2].
∴f(x)=-f(-x)=x2+2x(x∈[-2,0]).
∴當(dāng)x∈[2,4]時(shí),x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,
又T=4,∴f(x)=f(x-4),
∴f(x)=x2-6x+8(x∈[2,4]).
(3)∵T=4,
∴f(4k)=f(0)=0,f(4k+1)=f(1)=1,f(4k+2)=f(2)=0,f(4k+3)=f(3)=-1.k∈N.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=f(2013)+f(2014)+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的周期,周期函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.

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