Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N₊．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_2n，求數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a_n=2a_n-1，當n=1，a₁=1，數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求得b_n的通項公式，即可求得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用”裂項法“即可求得數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n項和為T_n．

解答 解：（1）當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項公式：a_n=2^n-1，
（2）b_n=log₂a_2n=log₂2^2n-1=2n-1，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n項和為T_n=$\frac{n}{2n+1}$，

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，采用”裂項法“求數(shù)列的前n項和，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．