Question

如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，
且.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）若是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面平行、線面垂直以及三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用ABCD為直角梯形，所以得到AB//CD，利用線面平行的判定，得AB//平面PCD；第二問(wèn)，在三角形ABC中，先利用余弦定理求出AC邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理判斷，而，利用線面垂直的判定，平面PAC；第三問(wèn)，由于平面ADC，所以M到平面ADC的距離為PA的一半，將轉(zhuǎn)化為，作，在三角形ACB中，解出AE和CE的值，即AD和DC的值，即可得到直角三角形ADC的面積，從而利用三棱錐的體積公式計(jì)算體積.
試題解析：（1）底面是直角梯形，且,
，                               1分
又平面     2分
平面                 3分
∴∥平面                4分
（2），，

                           5分
則
∴             6分
平面 ，平面
∴              7分
又             8分
∴平面                   9分
（3）在直角梯形中，過(guò)作于點(diǎn)，
則四邊形為矩形，         10分
在中可得
 
故           11分
∵是中點(diǎn)，
∴到面的距離是到面