Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且對(duì)任意的m，n∈N^*，都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=$\frac{4028}{2015}$．

Answer 1

分析 通過令m=1可知a_n+1-a_n=n+1，利用累加法計(jì)算可知a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a_m+n=a_m+a_n+mn，a₁=1，
∴a_n+1=a_n+n+1，
整理得：a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，…，a₂-a₁=2，
累加得：a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
∴a_n=a₁+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=1+$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）
=2（1-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{4028}{2015}$，
故答案為：$\frac{4028}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及裂項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．