Question

7．已知x+y=-1且x＜0，y＜0，求xy+$\frac{1}{xy}$的最小值$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得0＜xy≤$\frac{1}{4}$，換元由“對(duì)號(hào)函數(shù)”的單調(diào)性可得．

解答 解：∵x+y=-1且x＜0，y＜0，
∴（-x）+（-y）=1，且-x＞0，-y＞0，
∴xy=（-x）（-y）≤$（\frac{-x-y}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)-x）=-y即x=y=-$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴0＜xy≤$\frac{1}{4}$，令xy=t，
則xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$在0＜t≤$\frac{1}{4}$上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=xy=$\frac{1}{4}$時(shí)，xy+$\frac{1}{xy}$取最小值$\frac{17}{4}$
故答案為：$\frac{17}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及“對(duì)號(hào)函數(shù)”的單調(diào)性，屬中檔題．