Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-mx．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)在x=1處的切線與直線x-2y=0垂直，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知m≥

1

e

，且m，n∈（0，+∞），求證：（mn）^e≤e^m+n．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得m，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值f（x）_max=f（

1

m

）=ln（

1

m

）-1≤lne-1=0，即f（x）≤0恒成立，即lnx≤mx恒成立．不妨取m=

1

e

，則有l(wèi)nx≤

x

e

恒成立，即可得出證明．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=

1

x

-m，
∵函數(shù)在x=1處的切線與直線x-2y=0垂直，
∴函數(shù)在x=1處的切線斜率為

1

2

，
∴1-m=

1

2

，∴m=

1

2

，
∴f′（x）=

2-x

2x

，
∵函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
（Ⅱ）證明：f′（x）=

1

x

-m=-

m(x- 1 m )

x

，
∵m＞0，∴當(dāng)x∈（0，

1

m

）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

m

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

m

），單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

m

，+∞）．
∴f（x）_max=f（

1

m

）=ln（

1

m

）-1，又∵m≥

1

e

，∴

1

m

≤e，
∴f（

1

m

）=ln（

1

m

）-1≤lne-1=0，即f（x）≤0恒成立，即lnx≤mx恒成立．
不妨取m=

1

e

，則有l(wèi)nx≤

x

e

恒成立，
∵m，n∈（0，+∞），∴l(xiāng)nm≤

m

e

，lnn≤

n

e

，∴l(xiāng)nm+lnn≤

m

e

+

n

e

，
即ln（mn）^e≤m+n，∴（mn）^e≤e^m+n．

點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值等知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于難題．