Question

3．已知函數f（x）（x∈R，且x≠1）的圖象關于點（1，0）對稱，當x＞1時f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，則不等式f（x）＞1的解集是（　�。�

• A． $（-3，\frac{3}{2}）$
• B． $（-∞，-3）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-1）∪（\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $（-∞，-1）∪（1，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 由題意，f（x）=-f（2-x），當x＞1時f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，log_a2=-1，可得a=$\frac{1}{2}$，分類討論，解不等式即可得出結論．

解答 解：由題意，f（x）=-f（2-x），
∵當x＞1時f（x）=log_a（x-1），且f（3）=-1，
∴l(xiāng)og_a2=-1，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴當x＞1時，不等式f（x）＞1可化為$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＞1，∴1＜x＜$\frac{3}{2}$，
x＜1時，2-x＞1時，不等式f（x）＞1可化為-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（1-x）＞1，∴x＜-1
故選D．

點評 本題考查不等式的解法，考查對數函數的性質，屬于中檔題．