Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+3（x≤-1）}\\{f（x-1）+1（x＞-1）}\end{array}\right.$，方程f（x）=x+1的解從小到大排成一個數(shù)列{a_n}，該數(shù)列的前n項和為S_n，則$\frac{2{S}_{n+3}+10}{n}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{28}{3}$
• B． $\frac{19}{2}$
• C． 6
• D． 2$\sqrt{10}$+3

Answer 1

分析 分別討論當x≤-1時，當-1＜x＜0時，當0＜x＜1時，當1＜x＜2時，…，當n＜x＜n+1，運用分段函數(shù)式，再解方程f（x）=x+1可得方程的根，由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合基本不等式，以及n為自然數(shù)，即可得到所求最小值．

解答 解：當x≤-1時，f（x）=x+1，即3x+3=x+1，解得x=-1；
當-1＜x≤0時，-2＜x-1≤-1，f（x）=f（x-1）+1=3（x-1）+3+1=3x+1，f（x）=x+1的解為x=0；
當0＜x≤1時，-2＜x-2≤-1，f（x）=3（x-2）+3+2=3x-1，f（x）=x+1的解為x=1；
當1＜x≤2時，-2＜x-3≤-1時，f（x）=3（x-3）+3+3=3x-3，f（x）=x+1的解為x=2；
當2＜x≤3時，-2＜x-4≤-1時，f（x）=3（x-4）+3+4=3x-5，f（x）=x+1的解為x=3；
…
當n＜x≤n+1，-2＜x-n-2≤-1時，f（x）=3（x-n-2）+3+n+2=3x-2n-1，f（x）=x+1的解為x=n+1．
則數(shù)列{a_n}：-1，0，1，2，3，4，…，n-1，n，…
可得數(shù)列的前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$n（n-3），
則$\frac{2{S}_{n+3}+10}{n}$=$\frac{2×\frac{1}{2}n（n+3）+10}{n}$=n+$\frac{10}{n}$+3≥3+2$\sqrt{n•\frac{10}{n}}$=2$\sqrt{10}$+3，
但n=$\frac{10}{n}$，即n=$\sqrt{10}$∉N*，當n=3時，3+$\frac{10}{3}$+3=$\frac{28}{3}$；當n=4時，4+$\frac{10}{4}$+3=$\frac{19}{2}$．
則取n=3時，可得最小值$\frac{28}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，以及數(shù)列的求和及基本不等式的運用，注意n為自然數(shù)，考查化簡整理的運算能力，運用分段函數(shù)和求得方程的解是解題的關(guān)鍵，屬于難題．