Question

20．已知圓O：x²+y²=r²（r＞0），點(diǎn)P為圓O上任意一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交圓O于另一點(diǎn)A，B．
（1）當(dāng)直線PA的斜率為2時(shí)，
①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{7}{5}$），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且PA=2PB，求r的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上移動(dòng)時(shí)，求證：直線OP與AB的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）①求出r²=2，直線PA的方程，代入x²+y²=2，可得5x²-4x-1=0，即可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且PA=2PB，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，t），由垂徑定理得：4（r²-d₁²）=16（r²-d₂²），因?yàn)辄c(diǎn)P（2，t）在圓O上，所以2²+t²=r²，即可求r的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上移動(dòng)時(shí)，求出A，B的坐標(biāo)，即可證明直線OP與AB的斜率之積為定值．

解答 解：（1）①點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{5}$，-$\frac{7}{5}$），代入可得r²=2
直線PA的方程為y+$\frac{7}{5}$=2（x+$\frac{1}{5}$），即y=2x-1，
代入x²+y²=2，可得5x²-4x-1=0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；
②因?yàn)橹本�PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)且直線PA的斜率為2，所以直線PB的斜率為-2．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，t），則直線PA的方程為：2x-y-4+t=0，直線PB的方程為：2x+y-t-4=0．
圓心（0，0）到直線PA，PB的距離分別為d₁=$\frac{|-4+t|}{\sqrt{5}}$，d₂=$\frac{|-t-4|}{\sqrt{5}}$
因?yàn)镻A=2PB，所以由垂徑定理得：4（r²-d₁²）=16（r²-d₂²）
所以4（$\frac{|-t-4|}{\sqrt{5}}$）²-（$\frac{|-4+t|}{\sqrt{5}}$）²=3r²，
又因?yàn)辄c(diǎn)P（2，t）在圓O上，所以2²+t²=r²（2），聯(lián)立（1）（2）解得r=$\sqrt{13}$或$\frac{\sqrt{37}}{3}$；
（2）由題意知：直線PA，PB的斜率均存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），直線OP的斜率為k_OP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$
直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為：y-y₀=k（x-x₀），
聯(lián)立直線PA與圓O方程x²+y²=r²，消去y得：
（1+k²）x²+2k（y₀-kx₀）x+（y₀-kx₀）²-r²=0，
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O上，即x₀²+y₀²=r²，
所以（y₀-kx₀）²-r²=（k²-1）x₀²-2kx₀y₀，
由韋達(dá)定理得：x_A=$\frac{（{k}^{2}-1）{x}_{0}-2k{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$，故點(diǎn)A坐標(biāo)為（$\frac{（{k}^{2}-1）{x}_{0}-2k{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{-2k{x}_{0}-{k}^{2}{y}_{0}+{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$），
用“-k“代替“k“得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{（{k}^{2}-1）{x}_{0}+2k{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{2k{x}_{0}-{k}^{2}{y}_{0}+{y}_{0}}{1+{k}^{2}}$）
∴k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$
∴k_ABk_OP=1．
綜上，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上移動(dòng)時(shí)，直線OP與AB的斜率之積為定值1

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．